对正态分布的理解探讨

cristin

对正态分布的解释。
一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续

型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

可以用什么比较通俗的语言解释一下正态分布吗？
为什么要进行正态分布呢，分布有什么意议。
P值是怎么看的？
根据P值怎么判异呢？

gamyer1111

不太明白，关注中

mengxianfang79

樓主說的不錯，正態分布是這樣理解的。

cristin

楼上，我是不理解才问大家呀。
图是通过Minitab软件做出来的，而且别人也告诉我附合正态分布。
但我不知道为什么符合。
还有正态分布能用个通俗的解释说明一下吗？

cristin

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.

这些测量有什么意义呀！

hnwang

抓质量，首先要懂得什么是过程？如何让过程受控？当过程固有因素得到控制后，过程结果所测量的特性数值就会正常状态分布了。这样，以后，只要控制好过程固有因素，过程结果也就一定会正态分布。再考虑顾客要求，也就知道过程结果一定会有多少是合格的。这就叫过程受控。也叫过程稳定。

介绍看看帖子http://www.qilongtan.com/viewthread.php?tid=21046&highlight=

无音和尚

为什么：
1、对质量、对过程的认识，我们希望可以预测今后的结果，而不是要等到结果出来以后才能向顾客保证，为了预测，就需要一些预测的方法。如果我们能证明过程或其结果（产品）符合正态分布而且稳定，那我们就可以预测结果：有多少不合格品，我们还可以根据这个结果采取适宜的措施以确保顾客的要求得到满足。这种预测方法不仅仅是正态分布，其他分布也可以。
2、MINITAB的计算有相关的手册，可以解释你后面的两个问题。

cqcwoo

通俗地讲讲正态分布：
    正态分布是连续型（也叫计量型）变量分布的一种统计规律。
    所谓“统计规律”用不严格的话来表达，就是从众多事件中归纳出来的规律，但对每个具体的事件来说它只是指出了趋向性、可能性，是一种概率，而不是机械的“等于”。
    正态分布是一个（概率）二元函数，当然没有学过高等数学的人对这函数公式可能会感到很复杂，但经过中等教育的人都知道，二元函数就是有XY两个变量，X值定了就会对应有Y值，这样在平面上就是一条曲线。正态分布曲线很象一只寺院里倒挂的钟（或说象合着的草帽），其主要特点有三个：一是有一个中心，二是左右对称，三是有一个反映曲线“胖瘦”的特征值σ。这个中心值μ就是变量数据的平均值，这σ是数据的标准偏差，左右对称是公式结构所决定的。平均值大家都比较了解，标准偏差复杂一点，去看看公式也不难了解，它反映的是全部数据（对平均值）的分散程度。再具体点的描述就如1#帖中所述μ...σ...(见上)。但真正有典型意义的是“标准正态分布”，不过不要着急，非标准的一般正态分布都可设法变换成“标准正态分布”，这样事情就容易多了，只要讨论“标准正态分布”的特点，就能解决所有“正态分布”的事情了。
    “标准正态分布”除了对称外，主要还有哪些有用的特性和用处，请看下面的附件（说说正态分布.PPS）。

   
       说了一大堆也不知算不算通俗，欢迎交流和指正。

cqcwoo

楼主1#
图看不太清是怎回事。你每个图使用的数据数量太少了吧（好象只有10个），至少要30个数据试试。

cristin

数据是客户要求测试的，只有10个。
怎么看图符合正态分布呢？“μ，σ2”还是看P值 ？

cristin

6# hnwang
谢谢王老师，学习了。总结了很多东西。

海草

谢谢6楼、7楼、8楼的前辈的分析和讲解，让我理解的更加透彻和深刻；由此心中感触：我们站在你们这些前辈的无私的肩膀上，提高了看问题的视野和能力，谢谢各位前辈为论坛所做的贡献！

cqcwoo

10#cristin
你的数据数量太少是看不出图形的，但利用一些插件可对数据进行正态分布检验（一种假设检验），确定这组数据正态分布假设是否成立。（这些工具除MINITABL之外，本论坛内还能找到，如“6SQ统计”方法等。）
你原帖中的图和数据怎么没有了呢？

shiyi_gong

4# cristin


图呢？另外P是什么啊？是不是应该给大家解释一下。
正态分布通常确认两个内容，是否正态及偏倚，minitab通常P大于0.05 OK反之NG.但是我记得需要16个数据啊。
偏倚的判断，计算置信区间，看样本的中心值是否在置信区间内
也可以根据自己情况决定p值的加严还是放宽，但放宽必须有道理，不然是不会被客户或其他对过程质量关心的人接受的

cqcwoo

P是置信度吗？

shiyi_gong

lz提出的问题由她自己解释p是什么吧

hnwang

1、什么是P值？P值是指正态分布曲线超出某一特定值（譬如，产品公差的上或者下偏差值）的比例值。请见我给附件中《正态曲线》。这个比例值是指，正态分布曲线所包含的面积为1。那么，相距正态分布曲线的中心线的距离为z值的时候，以外那部分曲线所包含的面积比例。可以查标准的正态分布函数表得到这个Pz值。这里的z是指距离曲线中心的距离值。这个z值是用标准差作为单位来衡量的。譬如，您查附件中正态分布曲线。z=3，意思是三个标准差距离，这个比例值是0.00135两边加起来就是0.0027化成整数就是0.003，也叫0.3%。意思是，0.3%落在线外面了。为了理解，要解释什么是标准差。

2、什么是标准差？当过程稳定，只有普通原因引起变差的时候，所测量的过程输出（譬如，某尺寸）数据分布是正常状态的。一定会是这样的。因为，只有普通原因引起变差。根据以上得到的数据， 我们可以计算得到标准差（如何计算不讨论了）。这个标准差叫西格玛，用一个希腊字母，好象一个蝌蚪形状的符号来表示。数值小和大，反映数据向中心集中和分散。图形中可以见到，曲线陡峭和扁平。我们搞质量的人就是要把精力放在缩小这个标准差数值。

3、什么是过程能力？过程的能力就用6个标准差来代表。它由过程固有因素决定的，取决于过程固有因素的质量和相互作用的质量引起的变差。也就反映过程的质量。它和公差（规格要求、也叫规范要求、如果正确的话就代表顾客要求）没有联系的。总的数值是6个标准差。也不要和我们常常见到的《六西格玛》管理中的六西格玛混淆了。

4、什么是过程能力指数Cp？我们知道过程能力是6个西格玛。讨论能力指数，就必须联系公差要求（顾客要求、规格要求、规范要求）。用T来表示。如果数据分布中心和规格公差要求中心是重合的话（先讨论简单的）。中心两边各有3个西格玛，3个标准差。那么，T/6西格玛=Cp。如果T=6个西格玛，那么，Cp=1。您查附件中正态分布曲线，z=3，意思是三个标准差距离，这个比例值是0.00135两边加起来就是0.0027化成整数就是0.003，也叫0.3%。意思是，0.3%落在线外面了。现在公差是6个西格玛，那么，也就是有0.3%落在公差外面了，不合格了。

以上仅供参考。

shiyi_gong

计算出P值，通常称之为可获得的置信水平去跟α比较。P值就是一个指标来衡量样本证据对拒绝假设H0的支持程度。一般地，P值越小则表示拒绝零假设H0的样本证据的分量越重。特别地，P值是导致H0被拒绝的最小α值。任何α值< P值接受H0, 任何α值> P值拒绝H0。

cristin

17# hnwang

谢谢附件分享。

cristin

图片框中的“D2、D3、A2”代表什么呢？公式又是怎么计算出来的呀？

shiyi_gong

p值搞清楚了吗？回答了半天也没见反应，又整出了d2等问题了。那是做控制图用的系数，只要会查就可以了。来龙去脉不知道也罢。

cristin

21# shiyi_gong

谢谢大家，P值清楚了。
你怎么会了解我们新人的悲哀！

hnwang

图片框中的“D2、D3、A2”代表什么呢？公式又是怎么计算出来的呀？

1、这些都是系数，它是统计技术专家研究后确定的，它的意思是，控制图中上下控制极限和各个子样极差的平均值有联系，这个关系就是乘上一个系数就可以了。

2、您可以看图形资料前面有公式的。譬如，UCLR=D4R平均。这里的

a）“R平均”是各个子样极差的平均值。子样极差是每个子样测量得到数值中，最大值和最小值之差值。子样极差平均值是各个子样极差的平均值。

b）UCLR是“极差控制图”中的“上控制极限”。统计过程控制图用中心线上下各三个标准差作为控制极限线。图中是虚线表示。意思当数据落在这6个标准差外，认为过程可能有问题了。那么，上面的意思实际上就是，认为，子样测量得到的数据，反映过程的质量情况，其中一个指标就是标准差，它和极差平均值有关系。极差大，说明过程数据分散，过程质量差。有关标准差请见17#帖子。

3、其他公式的道理是一样的，因此有各种系数。对我们来说，只要理解和会用就可以了。如何计算得到这些数据，没有必要深入研究了。那是统计学家的事。

以上仅供参考。

cristin

23# hnwang

谢谢，明白了。

hnwang

谢谢，不客气。

cqcwoo

hnwang和shiyi_gong 讲的P值不是一个意思。
    cristin 帖中10个数据是否服从正态分布的正态性检验，其中有一种叫anderson-darling正态性检验，有两个统计量A平方和P值，符合要求的正态分布成立，不符合的则不成立。这个P值 不是方老师（hnwang）所说的那个标准正态分布中的P值。
    MINITAB中用这anderson-darling方法检验，但我看表中也没结论呀。但cristin 帖中没有将具体数据列出，尚不能用其他软件（如“6SQ统计”）验证。
    anderson-darling 正态性检验，不是我国国家标准中的三种检验方法，看了一些资料还没弄太懂，我只能含糊地说符合不符合，P值（计算十分复杂，只能由电脑进行）应如何判定，我不清楚，反正软件（“6SQ统计”和MINITAB等）能判定，“6SQ统计”中我试过，能明确告知，但不知MINITAB表中没有告知。cristin能将这三组各10个数据（数据表）公布，让我们用其他方法验证一下吗？

shiyi_gong

我在14#和18#都说清楚了啊
p大于0.05OK。加严0.1。p的计算，等我重新发帖说明吧。

hnwang

Anderson-Darling test 检查正态是否是分布用的P值
After you have plotted data for Normality Test, Check for P-value.

P-value < 0.05 = not normal.

normal = P-value >= 0.05

Note: Similar comparison of P-Value is there in Hypothesis Testing.
If P-Value > 0.05, Fail to Reject the H0

The Anderson-Darling test is used to test if a sample of data came from a population with a specific distribution. It is a modification of the Kolmogorov-Smirnov (K-S) test and gives more weight to the tails than does the K-S test. The K-S test is distribution free in the sense that the critical values do not depend on the specific distribution being tested. The Anderson-Darling test makes use of the specific distribution in calculating critical values. This has the advantage of allowing a more sensitive test and the disadvantage that critical values must be calculated for each distribution.

shiyi_gong

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shiyi_gong

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cqcwoo

要更正

shiyi_gong

没看懂你的计算。两边的得值为什么不一样？是不同的两组数据？也许我看错了
把计算结果做成图片添附即可

cqcwoo

我将图中的数据（横坐标和个数），用“6SQ统计”方法，分别作了验证。的确都符合正态分布，各组数据P值分别为0.0755  0.0719  0.0729  均大于 0.050。（和MINITAB的数有点不同，不知为什么）
王老师的28#帖和shiyi_gong 的没有分歧，谢谢，学习了，有收获。
验证情况见附件：          这样作对否，请指教。

shiyi_gong

感动ing

cristin

谢谢大家的热心，数据已经传到上面附件了。

shiyi_gong

关于正态分布分析补充几点：
1、不仅要判断p值还要观察偏倚是否超出置信区间
2、在分析之前，要确认数据是否有自相关的问题，如果是的话，数据需要修正。软件有这个功能，可以查minitab手册。

cristin

好感动，大家这么帮忙。

cqcwoo

       据已经传到上面附件的数据，用“6SQ统计”方法，作了验证。各组数据P值分别为0.155  0.217  0.171  均大于 0.050。和MINITAB的数一致了（见附件），谢谢cristin。
    有收获。
    附件：

shiyi_gong

我还真担心除了cqcwoo外大家是不是真明白了

cristin

39# shiyi_gong

为什么呀，难道你还有什么需要补充讲解的？

shiyi_gong

40# cristin

其实统计很简单，当初minitab的设计人员的初旨就是只要你会p大于0.05就可以了。我担心大家把它理解复杂化了

cristin

要知道为什么判异就要了解更多的嘛。

hnwang

8# cqcwoo

      我看了您的PPT，很好。但是，第六页，其中有一个数据是否有问题？就是落在+/—6标准差范围外面的数据不应当是3.4PPM。3.4PPM是当中心数据相对名义值有1.5个标准差偏移的情况下，落在6标准差范围外面的数据量。如果中心没有偏移的话，应当是0.002PPM。不是3.4PPM。

      以上仅供参考。

cqcwoo

王老师：
您说得对，我重新查了一下±6σ范围内的合格率就为99.9999998%，±6σ范围外应为0.002PPM（双边）；而在有1.5个标准差偏移的情况下，落在6标准差范围外面的数据为3.4PPM（只要计算单边）。我已将上面 8#帖的附件 PPS第六页的内容改正了。谢谢！

LILIYANG721

学习了!

alansan

等着龚老师讲p的计算公式能

shiyi_gong

关于p值，可以举个例子：假如有2组14个样本的F检验值F0=2.58，它的p值是多少？反查F分布表，在ν1=ν2=13的交叉点中找到2.58的概率值是0.05，这个0.05就是这个检验的p值，我们所做出的F0都会有相应的概率值，只是我们在F表中不能都查到，但电脑可以运用公式进行计算，可以得到所有F0所对应的p值。如果当F0大于F0.05我们拒绝，相反p<0.05我们同样拒绝。

alansan

有点晕乎，待俺去查查相关资料，关键是那个F分布表，及时它与P的关系。
谢谢龚老师！